Makalah bilangan Cacah

MAKALAH

BILANGAN CACAH

MATA KULIAH TEORI BILANGAN

OLEH :

MEZI HADIYATI

MAT 12B

DOSEN PEMBIMBING : HANA ADHIA S.Si M.Pd

UNIVERSITAS MAHAPUTRA MUHAMMAD YAMIN

FKIP/PENDIDIKAN MATEMATIKA

2013

HIMPUNAN BILANGAN ASLI

Himpunan bilangan cacah biasanya dilambangkan dengan :

C : { 0,1,2,3,4,… }

Bilangan nol dapat didefinisikan sebagai “ bilangan cardinal” dari suatu himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai sama sekali anggota, jadi n (Ø) = 0.

A.    Defenisi dan sifat-sifat bilangan cacah

Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan cacah, maka definisi dan sifat-sifat yang terdapat dalam himpunan bilanga asli juga berlaku untuk bilangan cacah.

Sifat-sifat bilangan cacah yang tidak terdapat pada bilangan asli adalah :

§  Sifat 1.1          : Sifat identitas penjumlahan

Apabila a bilangan cacah, maka a + 0 = 0 + a. 0 disebut elemen netral atau elemen identitas penjumlahan.

§  Sifat 1.2          : Sifat perkalian dengan 0

            Apabila a bilangan cacah, maka a x 0 = 0 x a

§  Sifat 1.3          :  Distributive perkalian terhadap pengurangan

            Apabila a,b dan c bilangan cacah, dan b lebih besar atau sma dengan c ( b ≥ c), maka a (b – c ) = ab – ac.

§  Sifat 1.4          : Sifat asosiatif persamaan

a.      Apabila a,b dan c bilangan cacah, dan b ≥ c, maka ( a+ b ) – c = a + ( b – c )

b.     Apabila a,b,c dan d bilangan cacah, a ≥ b dan b ≥ d, maka ( a + b ) – ( c + d ) = ( a – c ) + ( b – d )

§  Sifat 1.6          :

            Apabila a dan b bilangan cacah, b ≠ 0, maka terdapat bilangan cacah lainnya q dan r sehinnga : a = bq + r. dimana 0 ≤ r < b

Contoh :

a.      Misalkan : a = 47

      b = 7

maka, 47 = 7 x 6 + 5, dimana q = 7 dan r = 5

b.     Misalkan : a = 54

      b = 9

            maka, 54 = 9 x 6 + 0, dimana q = 6 dan r = 0

B.    Sifat – sifat membagi dengan nol

Bilangan 0 memengang peranan khusus dalam operasi pembagian, seperti halnya dengan bilangan cacah lainnya, apabila 0 dibagi dengan bilangan cacah lainnya yang bukan 0 akan menghasilkan bilangan cacah yakni 0 sendiri. Sebagai contoh misalnya : 0 x 5 = 0 karena 0 = 0 x 5 ( definisis penbagian). Jadi 0 adalah satu-satunya anggota himpunan penyelesaian dari bilangan 0 dibagi dengan bilangan cacah lainnya selain 0.

C.    Operasi Pemangkatan

Misalkan         : a³ = a x a x a, dimana terdapat 3 faktor a

                   a⁸ = a x a x a x a x a x a x a x a  terdapat 8 faktor a

Defenisi         

Aapabila a dan n bilangan cacah ( a ≠ 0 ), maka aⁿ  adalah hasil yang di                                         peroleh a sebagai kasil kali sebanyak n kali.

        n disebut bilangan eksponen , sedangkan a dinamakan bilangan dasar

Contoh           

 3⁵ dibaca tiga pangkat lima dimana bilangan dasar adalah 3 dan eksponennya     

  adalah 5

D.    Sifat – sifat pemangkatan

1.     Sifat perkalian bilangan berpangkat

Apabila a bilangan cacah ,a ≠ 0 maka a^m x aⁿ = a^{m + n}

Contoh :

            a^³ x a⁴ =  a³⁺⁴

                               = a⁷

                         

2.     Sifat pembagian bilangan berpangkat

Apabila a bilangan cacah , a ≠ 0 maka a^m : aⁿ = a^m-n  

Contoh           

a.      a^³: a² = a^3-2

   = a¹

b.     a²: a³ = a^2-3

   = a^-1

( karena -1 bukan bilangan cacah maka himpunan jawabannya adalah himpunan kosong atau dengan perkataan lain tidak ada himpunan jawaban)

3.     Sifat distributive pemangkatan terhadap perkalian

Apabila a,b dan c bilangan cacah maka ( a x b )ⁿ = aⁿ x bⁿ

Contoh           

            ( a x b )⁵ = a⁵ x b⁵

4.     Sifat distributive pemangkatan terhadap pembagian

Apabila a,b dan c bilangan cacah, maka ( a : b )^c = a^c : b^c

Contoh

            ( a x b )³ = a³ x b³

5.     Sifat pemangkatan berganda

Apabila a,b dan c bilangan cacah, maka ( a^b)^c = a^b.c

Contoh

            ( a⁴)³ = a^4.3

                     = a¹²

E.    Sifat – sifat bilangan nol dalam pemangkatan

1.     Apabila a adalah bilangan cacah, a≠ 0 maka 0^a = 0

Bukti  

Menurut definisi 0^a = 0 x 0 x 0 x 0 . . . x 0 ( a factor). Hasil perkalian berganda ini adalah 0. Jadi 0^a = 0

2.     Apabila o adalah bilangan cacah, a ≠ 0, maka a⁰ = 1.

Bukti

Perhatikan pembagian a^b : a^b  karena pembagi dan yang dibagi adalah sama, maka hasilnya adalah sama dengan 1, jadi a⁰ = 1

3.     Apabila a adalah bilangan asli, a ≠ 0, maka a¹ = a

Bukti

            Perhatikan a^{b + 1} dan a^b

            a^b+1 : a^b = ( a^b x a¹ ) : a^b

                         = a

Menurut sifat : a^b+1 : a^b = a¹ , jadi a¹ = a

4.     0⁰ tidak didefinisikan

Bukti

            Perhatikan a^b : a^c = a^b-c . . . . . . (1)

            Sekarang kita misalkan a = 0 dan b = c = 0, maka (1) menjadi

            0^b : 0^c = 0^b-c

                       = 0^0-0 = 0⁰

Karena menurut sifat 0^b = 0 dan 0^c = 0 maka 0^b : 0^c = 0 : 0 = 0⁰ jadi pembagian dengan nol menghasilkan tidak terdefinisi.

F.     Bilangan Prima dan Bilangan Komposit

Defenisi 1 :

            Suatu bilangan asli p, p > 1 dinamakan bilangan prima jika dan hanya jika p mempunyai factor 1 dan p sendiri.

Defenisi 2 :

            Suatu bilangan asli q, dinamakan bilangan komposit, jika dan hanya jika q mempunyai lebih dari dua factor yaitu factor 1 dan dirinya sendiri.

Setiap bilangan komposit positif dapat diuraikan menjadi perkalian bilangan prima, misalnya :

20 = 2 . 2 . 5

136 = 2 . 2 . 2 . 17

Untuk menentukan bilangan prima, Erasthothenes ( 200 BC ) seorang ahli matematika bangsa yunani, memperkenalkan suatu  cara yabg dikenal dengan nama “ saringan erasthothenes “  Erasthothenes melakukan langkah – langkah sebagai berikut :

1.     Mula – mula disusun suatu barisan bilangan mulai dari 1 sampai 100

2.     Pertama-tama dicoret 1, karena 1 bukanlah bilangan prima

3.     2 adalah bilangan prima, lalu semua kelipatan 2 dicoret karena bukan bilangan prima.

4.     3 adalah bilangan prima lalu semua kelipatan 3 dicoret

5.     5 adalah bilangan prima lalu kelipatan 5 dicoret

Demikianlah seterusnya sehingga akhirnya akan diperoleh semua bilangan prima yaitu semua bilangan yang tidak dicoret.

Pierre de fermat (1601 – 1665) ahli matematika perancis menggunakan formula :

F_n = 2²ⁿ + 1

Untuk memperoleh bilangan prima, tetapi ternyata formula ini hanya berlaku untuk n < 5

F₀ = 2² + 1 = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2^2.1 + 1 = 2² + 1 = 5

F₂ = 2^2.2 + 1 = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2^2.3 + 1 = 257

F₄ = 2^2.4 + 1 = 65.537

§  Sifat 2.1

            Bilangan prima banyaknya tidak terhingga

Bukti

            Misalkan banyaknya bilangan prima adalah terhingga, jadi terdapat  suatu bilangan prima yang terbesar

2 . 3 + 1 = 7

2 . 3 . 5 + 1 = 31

2 . 3 . 5 . 7 + 1 = 211

2 . 3 . 5 . 7 . 11 + 1 = 2311 dan seterusnya

Misalkan n adalah bilangan prima yang terbesar dan :

N : 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . . . n + 1

§  Sifat 2.2

Apabila 2ⁿ – 1 adalah bilangan prima, maka n adalah bilangan prima ( Euclides )

Contoh :

1.     Misalkan 2² – 1 = 3 bilangan prima, maka 2 adalah bilangan prima

2.     2⁷ – 1 = 127 adalah bilangan prima , maka 7 adalah bilangan prima

3.      2⁶ – 1 = 63 bukan bilangan prima, maka 6 bukan bilangan prima

G.   Bilangan Sempurna

Defenisi

            Suatu bilangan asli, dimana jumlah factor – factor murninya sama dengan bilangan itu sendiri, maka bilangan itu dinamakan bilangan sempurna.

Contoh :

            6 = 1 + 2 + 3

Jadi 6 adalah bilangan sempurna, karena jumlah factor – faktornya murni 1 , 2 dan 3 adalah sama dengan 6

§  Sifat 3.1

Apabila 2ⁿ-1 adalah bilangan prima, maka 2^n-1 (2ⁿ – 1 ) adalah bilangan sempurna.

Bukti

            Digunakan metode induksi

1 + 2 = 3 = 2² – 1

 1 + 2 + 2² = 7 = 2³ – 1

1 + 2 + 2² + 2³ = 15 = 2⁴ – 1

……………………………

…………………………....

1 + 2 + 2² + 2³ . . . + 2^{n – 1} = 2ⁿ – 1

Karena 2ⁿ – 1 = p  adalah bilangan prima maka harus dibuktikan bahwa 2^n-1 p adalah sama dengan jumlah factor – factor murninya. Jumlah factor murninya adalah :

= 1 + 2 + 2² + 2³ + . . . + 2^n-1 + p ( 1 + 2 + 2² . . . + 2^n-2 )

= 2^n-1 p ( 2^n-1 – 1 )

= p. p ( 2^n-1 – p )

= 2^n-1 p

Jadi, 2^n-1 ( 2ⁿ – 1 ) adalah bilangan prima

H.    Bilangan Bersahabat

 Defenisi

             Dua bilangan disebut bilangan bersahabat, apabila bilangan yang pertama sama dengan jumlah pembagi murni bilangan kedua, dan bilangan kedua sama dengan jumlah pembagi murni bilangan pertama.

Contoh  : 220 dan 284

Jumlah pembagi murni dari 220 adalah :

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Jumlah pembagi murni dari 284 :

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Jadi 220 dan 284 adalah pasangan bilangan bersahabat

Pada abad ke 19 matematician menemukan dua conjecture lagi yang dikenal dengan “ Goldbach’s Conjecture “ yaitu :

a.      Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 4 adalah jumlah dari dua bilangan prima

Contoh :

            6 = 3 + 3

            8 = 3 + 5

            10 = 5 + 5 = 3 + 7

            12 = 5 + 7

            14 = 7 + 7 = 3 + 11

b.     Setiap bilangan ganjil yang lebih besar atau sama dengan 9 adalah jumlah dari tiga bilangan prima

Contoh

            9 = 3 + 3 + 3

            11 = 3 + 3 + 5

            13 = 5 + 5 +3 = 3 + 3 + 7

            17 = 3 + 3 + 11 = 5 + 5 + 7 = 3 + 7 + 7

Sampai sekarang belum ada yang dapat  membuktikan conjecture ini benar atau salah.